DPCM (Differential Pulse Code Modulation), Método diferencial para compresión de señales, Parte I, puro rollo

La teoría del siguiente choro mareador y las figuras pirateadas fueron tomad@s de:
Data Compression: The Complete Reference. David Salomon. Fourth Edition. Springer. 2007. Section 4.26: DPCM
Digital Signal Processing: Fundamentals and Applications. Li Tan. Academic Press. 2008. Section 11.3: Examples of Differential Pulse Code Modulation, and Adaptive DPCM G.721

La compresión por DPCM es parte de la familia de métodos compresión por codificación diferencial. La idea general es usar valores pasados recuperados como base para predecir el dato actual de entrada. Esto se basa en el hecho, por ejemplo, que los pixeles en una imagen o muestras adyacentes en el audio digitalizado se encuentran correlacionadas. Los valores correlacionados son generalmente similares, así que sus diferencias son pequeñas, esto resultando en una compresión.
A continuación se muestra el esquema simple de compresión diferencial para poder entender el principio del DPCM.



                           Codificador                                 Decodificador

Figura 1. CoDec Diferencial

La imagen anterior muestra un ejemplo de un codificador diferencial, se observa como el dato actual se almacena en una unidad de almacenamiento, llámese “Delay” (o retardo pues si no les gusta agringarse), para ser usado para codificar el siguiente dato, o sea, . Claro, la explicación anterior esta sumamente simplificada, en este ejemplo se muestra el uso de un cuantizador, eso significa que se tiene una compresión con perdidas o “lossy” y esto significa que nuestro dato codificado es realmente el cual ya contiene un error de cuantización. Esto significa que la codificación por diferencias (o diferencial, como ustedes gusten y manden) nos mete en un nuevo problema: La acumulación de errores.

Entonces hay que tomar ventaja de lo que se menciona anteriormente, los datos que se van a comprimir están correlacionados. Esto significa que en general un dato depende de varios de sus vecinos, no solamente del anterior. Una mejor predicción puede ser lograda usando N de los datos previos para codificar el valor actual , entonces tendremos una función , para predecir el dato actual .

Ora si, en seguida pueden observar (jeje, como visita al museo) el diagrama del DPCM. (oooooohhhh!)


                          Codificador                                   Decodificador

Figura 2. DPCM

Oquey, oquey, haber encuentren la(s) diferencia(s) entre la Figura 1 y la Figura 2. ¿Está fácil? ¿que no? …

…

…

Pues si, cambiamos “Delay” por “Pred.” y se acabo el asunto.

Si.

Como se explicaba antes, el predictor viene siendo la funcioncica esta:

En donde tenemos que es una función que nos afecta un conjunto de N pixeles y en base a esto obtenemos una mejor predicción de nuestro valor actual, es decir tratamos de minimizar el error introducido por la cuantificación.

Esta es la primera parte de dos, en esta ocasión fue el rollo previo a un ejemplo peque para poder explicar la DPCM.

¿Qué Onda?: Fundamentos Matemáticos de las WAVELETS. Parte I

Lo que se presenta a continuación es basado en un artículo de Albert Cohen y Jelena Kovacevic llamado Wavelets: The Mathematical Background.

 

Cuando se tiene una señal, existen una gran cantidad de maneras de representarla y en base a lo que necesitamos hacer con dicha señal es que elegimos la manera en que va a ser tratada. El objetivo es que la información obtenida de la señal tenga significado para nosotros, es ahí dónde se pueden lograr varios acercamientos. Entre ellos se encuentran la multiresolución y las transformaciones de dominio.

La multiresolución a grandes rasgos es ir representando la información de manera que los detalles son agregados de forma sucesiva. Para la representación de una señal, uno de los temas que se utilizan ampliamente son las transformaciones de dominio y con ello es menester hablar una de las técnicas más aplicadas, la transformada de Fourier. Con la transformada de Fourier cambiamos la representación de una señal en el dominio del tiempo al dominio de la frecuencia, pero no podemos saber en que instante de tiempo está ubicada la frecuencia, esto es en algunos casos una limitación.

Una manera de darnos una idea de la localización en tiempo de la frecuencia es construir bloques y aplicarles la transformada de Fourier. Si tenemos que es una señal de frecuencia, con Fourier obtenemos un pico en la frecuencia dada. A partir de esto podemos expresar dónde es la ventana usada para localizar la frecuencia en el tiempo, a esto se le llama Short-time Fourier Transform (STFT). Una de las principales desventajas con la STFT es que la localización en el espacio tiempo es fija. Con las wavelets se tiene un acercamiento diferente, la localización de la frecuencia es logarítmica y proporcional al nivel de frecuencia.

Se puede definir una familia de funciones de la siguiente manera que nos permita tener una representación en la escala del tiempo

,

(1)

dónde es una función fija llamada “wavelet madre”, a representa el escalamiento de la función y b son los corrimientos en el tiempo.

Basado en la función representada en (1) y tomando en cuenta que es un espacio de Hilbert, se define la transformada de una función f de la siguiente manera:

(2)

Para que la transformada (2) pueda ser invertible, se tiene elegir una de manera que cumpla con la condición de admisibilidad mostrada a continuación:

(3)

Y para asegurar que la integral es finita se debe cumplir que . En base a lo anterior tenemos que se puede reconstruir mediante:

(4)

Prácticamente, una transformada wavelet continua se aplica a una serie de puntos discretos de manera . Si se restringe la transformada continua wavelet de manera que , dónde entonces para valores fijos y . Entonces podemos definir la función wavelet de manera general cómo:

,

(5)

Para saber si la transformada wavelet en el caso discreto caracteriza completamente la función f y logra reconstruirla de manera estable, se requiere introducir el concepto de frames.

Para que un frame exista, y por lo tanto reconstrucción a partir de la wavelet, se debe tener una secuencia en un espacio de Hilbert H si para cada x perteneciente al espacio H se cumple lo siguiente:

(6)

En dónde los límites son independientes de x. A dicha secuencia se le asocia al operador F que representa a y también se desprende de ahí F* que asocia la sumatoria de las secuencias en .

La desigualdad expresada en (6) puede ser expresada en términos del operador hermitiano F* F de manera que:

(7)

En base a lo anterior podemos definir una secuencia dada por que también constituye un frame llamado dual frame con límites en y se asocia con el operador llamado por lo consiguiente tenemos que:

(8)

Y también tenemos que así que una x que forma parte del espacio de Hilbert es representada por:

(9)

Para reconstruir x debemos conocer . Teniendo en cuenta que:

(10)

Dónde el operador residual satisface lo siguiente:

(11)

Sustituyendo en (7) nos da como resultado la siguiente ecuación:

(12)

Si tenemos que A=B=1 después de renormalizar, entonces podemos definir lo siguiente:

(13)

De manera que elegimos valores de A-B/A+B que se aproximan a cero y también A y B de manera arbitraria cercanos a uno seguido de una renormalización, eligiendo valores a₀ y b₀ cercanos a uno y cero respectivamente. Lo anterior significa que se ha hecho un sobre-muestreo de la wavelet continua en un arreglo bastante denso. Una de las aplicaciones más usadas para usar el sobre-muestreo empleando frames es el de reducir el error de reconstrucción con una relación basada en el sobre-muestreo.

 

Continuará…